问答题
设函数f(x)在区间(a，+∞)(a＞0为常数)上可导，且
．试证：(Ⅰ)
；(Ⅱ)
．试证：(Ⅰ)
；(Ⅱ)
【正确答案】
【答案解析】(Ⅰ)记g(x)=e
2x
f(x)[x∈(a，+∞)]，则
．
由极限性质知，存在x 0 ＞a，当x＞x 0 时，g"(x)＞1．
在[x 0 ，x]
(a，+∞)上，对g(x)用拉格朗日中值定理，存在ξ∈(x
0
，x)，使g(x)-g(x
0
)=g"(ξ)(x-x
0
)＞(x-x
0
)，即g(x)＞g(x
0
)+x-x
0
．于是
．
(Ⅱ)因为
于是
．由极限性质知，存在x 0 ＞a，当x＞x 0 时，g"(x)＞1．
在[x 0 ，x]
(a，+∞)上，对g(x)用拉格朗日中值定理，存在ξ∈(x
0
，x)，使g(x)-g(x
0
)=g"(ξ)(x-x
0
)＞(x-x
0
)，即g(x)＞g(x
0
)+x-x
0
．于是
．(Ⅱ)因为
于是