解答题
设f(x)，g(x)均在[a，b]上连续，证明柯西不等式：
【正确答案】
【答案解析】[证法一] 辅助函数法
(因为[f(u)g(x)]2+[g(u)f(x)]2≥2f(u)g(x)g(u)f(x))
所以F(u)单调递减，又因为F(a)=0，故F(b)≤F(a)=0，即
[证法二] 判别式法： 设t为任意实数，则
[f(x)-tg(x)]2=f2(x)-2tf(x)g(x)+t2g2(x)≥O，
因而有
上式中间部分是关于实数￡的二次三项式，故其判别式仅当Δ=B2-4AC≤0时，不等号才成立，
即
由此可推出命题成立．
[证法三] 二重积分法：
(因为[f(u)g(x)]2+[g(u)f(x)]2≥2f(u)g(x)g(u)f(x))
所以F(u)单调递减，又因为F(a)=0，故F(b)≤F(a)=0，即
[证法二] 判别式法： 设t为任意实数，则
[f(x)-tg(x)]2=f2(x)-2tf(x)g(x)+t2g2(x)≥O，
因而有
上式中间部分是关于实数￡的二次三项式，故其判别式仅当Δ=B2-4AC≤0时，不等号才成立，
即
由此可推出命题成立．
[证法三] 二重积分法：