单选题
设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是：
- A.矩阵A的任意两个列向量线性相关
- B.矩阵A的任意两个列向量线性无关
- C.矩阵A的任一列向量是其余列向量的线性组合
- D.矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合
【正确答案】
D
【答案解析】 本题考查线性方程组解的基本体系。
齐次线性方程组Ax=0(其中A为m×n矩阵)，有非零解的充分必要条件是：
设R(A)=r，当r＜n时，齐次线性方程组有无穷多解，即有非零解，也即R(A)＜n，矩阵的秩小于矩阵的列数。
由此可推出矩阵的列向量构成的向量组线性相关，即存在一组不全为零的数λ1、λ2、λ3、…、λn，使λ1α1+λ2α2+…+λnαn=0，若λ1≠0，则λ1α1=-λ2α2-λ3α3…-λnαn，
。矩阵A的列向量整体是线性相关的，但并不能说明A的任意两个列向量也是线性相关的。可举一例：
这个矩阵对应的齐次方程组就有无穷多解，因为R(A)=2＜3，然而矩阵中第一列和第二列或者第三列线性无关，第二列和第三列线性相关，所以选项A、B和C错误。
齐次线性方程组Ax=0(其中A为m×n矩阵)，有非零解的充分必要条件是：
设R(A)=r，当r＜n时，齐次线性方程组有无穷多解，即有非零解，也即R(A)＜n，矩阵的秩小于矩阵的列数。
由此可推出矩阵的列向量构成的向量组线性相关，即存在一组不全为零的数λ1、λ2、λ3、…、λn，使λ1α1+λ2α2+…+λnαn=0，若λ1≠0，则λ1α1=-λ2α2-λ3α3…-λnαn，
。矩阵A的列向量整体是线性相关的，但并不能说明A的任意两个列向量也是线性相关的。可举一例：这个矩阵对应的齐次方程组就有无穷多解，因为R(A)=2＜3，然而矩阵中第一列和第二列或者第三列线性无关，第二列和第三列线性相关，所以选项A、B和C错误。