问答题
设A是三阶实对称矩阵，满足
Aα 1 =-α 1 ，Aα 2 =α 1 +2α 2 ，Aα 3 =α 1 +3α 2 +α 3 ，
其中α 1 =(0，1，1) T ，α 2 =(1，0，1) T ，α 3 =(1，1，0) T ．
证明：A能相似于对角阵Λ，并求可逆阵P，使得P -1 AP=A．
Aα 1 =-α 1 ，Aα 2 =α 1 +2α 2 ，Aα 3 =α 1 +3α 2 +α 3 ，
其中α 1 =(0，1，1) T ，α 2 =(1，0，1) T ，α 3 =(1，1，0) T ．
证明：A能相似于对角阵Λ，并求可逆阵P，使得P -1 AP=A．
【正确答案】
【答案解析】解：由题设
A(α 1 ，α 2 ，α 3 )=(-α 1 ，α 1 +2α 2 ，α 1 +3α 2 +α 3 )
其中
得AQ=QB，且
故Q可逆．两边左乘Q -1 ，得
Q -1 AQ=B (*)
即A～B，相似的矩阵有相同的特征值，故
即A和B有三个互异的特征值λ 1 =-1，λ 2 =2，λ 3 =1．得证
当λ 1 =-1时，
有解得ξ
1
=(1，0，0)
T
．
当λ 2 =2时，
有解得ξ
2
=(1，3，0)
T
．
当λ 3 =1时，
有解得ξ
3
=(-1，-3，1)
T
．
取
有
代入B=Q -1 AQ，得
记P=QW，则有
其中
A(α 1 ，α 2 ，α 3 )=(-α 1 ，α 1 +2α 2 ，α 1 +3α 2 +α 3 )
其中
得AQ=QB，且
故Q可逆．两边左乘Q -1 ，得
Q -1 AQ=B (*)
即A～B，相似的矩阵有相同的特征值，故
即A和B有三个互异的特征值λ 1 =-1，λ 2 =2，λ 3 =1．得证
当λ 1 =-1时，
有解得ξ
1
=(1，0，0)
T
．
当λ 2 =2时，
有解得ξ
2
=(1，3，0)
T
．
当λ 3 =1时，
有解得ξ
3
=(-1，-3，1)
T
．
取
有
代入B=Q -1 AQ，得
记P=QW，则有
其中