问答题
设函数φ(x)在(一∞，+∞)连续，是周期为1的周期函数，∫
0
1
(x)dx=0，函数f(x)在[0，1]有连续导数，求证：
问答题
∫
0
1
φ(t)dt是以1为周期的周期函数且在(一∞，+∞)有界．
【正确答案】正确答案：考察 ∫
0
x+1
φ(t)dt-∫
0
x
φ(t)dt=∫
x
x+1
φ(t)dt=∫
0
1
φ(t)dt=0 (因为(∫
x
x+1
φ(t)dt)'=φ(x+1)一φ(x)=0，∫
x
x+1
φ(t)dt为常数) 因此∫
0
x
φ(t)dt以1为周期． 因为∫
0
x
φ(t)dt在(一∞，+∞)连续 =>∫
0
x
φ(t)dt在[0，1]有界，又它以1为周期=>∫
0
x
φ(t)dt在(一∞，+∞)有界．
【答案解析】
问答题
令a
n
=∫
0
1
f(x)φ(nx)dx，则a
n
=一∫
0
1
f'(x)[∫
0
x
φ(nt)dt]dx.
【正确答案】正确答案：按要证明的结论提示我们．用分部积分法改写a
n
a
n
=∫
0
1
f(x)d(∫
0
x
φ(nt)dt) =(f(x)∫
0
x
φ(nt)dt)｜
0
1
-∫
0
x
f'(x)(∫
0
x
φ(nt)dt)dx =-∫
0
x
f'(x)(∫
0
x
φ(nt)dt)dx 其中
【答案解析】
问答题
级数
【正确答案】正确答案：先估计a
n
． ｜a
n
｜≤｜∫
0
1
f'(x)(∫
0
x
φ(nt)dt)dx｜ 因f'(x)在[0，1]连续，=>｜f'(x)｜≤M
1
(x∈[0，1])，又因
∫
0
x
φ(s)ds在(一∞，+∞)有界(第一题的结论)=>
M
1
，M
2
为某常数． 于是
由
收敛，因此
∫
0
x
φ(s)ds在(一∞，+∞)有界(第一题的结论)=>
M
1
，M
2
为某常数． 于是
由
收敛，因此
【答案解析】