解答题
1.求单位向量β3，使向量组β1=(1，1，0)T，β2=(1，1，1)T，β3与向量组α1=(0，1，1)T，α2=(1，2，1)T，α3=(1，0，一1)T的秩相同，且β4可由α1,α2,α3线性表示．
【正确答案】设A=(α1,α2,α3)，则
由此可知，r(α1,α2,α3)=2，所以α1,α2,α3线性相关，并且α1,α2是α1,α2,α3的一个极大线性无关组．
设β3=(x1，x2，x3)T，由于β3可由α1,α2,α3线性表示，从而可由α1,α2线性表示，所以α1,α2,β3线性相关，于是
即x1一x2+x3=0．
又因为r(β1，β2，β3)=r(α1,α2,α3)=2，所以β1，β2，β3也线性相关，于是
即x1一x2=0．由已知β3为单位向量，则‖β3‖=x12+x22+x32=1．
于是，
解得
故可取
由此可知，r(α1,α2,α3)=2，所以α1,α2,α3线性相关，并且α1,α2是α1,α2,α3的一个极大线性无关组．
设β3=(x1，x2，x3)T，由于β3可由α1,α2,α3线性表示，从而可由α1,α2线性表示，所以α1,α2,β3线性相关，于是
即x1一x2+x3=0．又因为r(β1，β2，β3)=r(α1,α2,α3)=2，所以β1，β2，β3也线性相关，于是
即x1一x2=0．由已知β3为单位向量，则‖β3‖=x12+x22+x32=1．
于是，
解得故可取
【答案解析】本题考查向量组的秩的概念和向量的线性表示，应先求α1,α2,α3的秩，来确定β1，β2，β3的秩，再根据题设建立相应的线性方程组．