单选题
设f(x)在x=x0处可导，则
A．必存在δ＞0，在x∈Uδ(x0)内f(x)连续．
B．在x=x0处f(x)必连续，但不能保证存在δ＞0，在
内f(x)也连续．
C．若f'(x0)＞0，则存在δ＞0，在x∈Uδ(x0)内f(x)严格单调增．
D．若f'(x0)＞0，则存在δ＞0，在
A．必存在δ＞0，在x∈Uδ(x0)内f(x)连续．
B．在x=x0处f(x)必连续，但不能保证存在δ＞0，在
内f(x)也连续．C．若f'(x0)＞0，则存在δ＞0，在x∈Uδ(x0)内f(x)严格单调增．
D．若f'(x0)＞0，则存在δ＞0，在
【正确答案】
B
【答案解析】[解析] 由f(x)在x=x0处可导，推知f(x)在x=x0处连续，这是一条定理．但是不保证存在δ＞0，在[*]内f(x)也连续．例子如下：设D(x)为狄利克雷函数，命f(x)=x2D(x)，有
[*]
f'(0)存在．但f(x)=x2D(x)在x=0的任意小的去心邻域内都不连续，所以(B)正确．
[评注] (B)正确，所以(A)不正确．(C)的反例：[*][*]f'(0)=1＞0，但在x=0的任意邻近的去心邻域，f'(x)不保持确定的符号(时正、时负)，所以(C)不正确．由于[*]=f'(x0)＞0，由保号性知存在[*]，当[*]且x＜x0时f(x)＜f(x0)，(D)不成立．
本题的核心是告诉读者，一点处连续，附近并不一定连续，一点处f'(x0)＞0，函数并不一定单调增，一点处是不能说什么单调的．
[*]
f'(0)存在．但f(x)=x2D(x)在x=0的任意小的去心邻域内都不连续，所以(B)正确．
[评注] (B)正确，所以(A)不正确．(C)的反例：[*][*]f'(0)=1＞0，但在x=0的任意邻近的去心邻域，f'(x)不保持确定的符号(时正、时负)，所以(C)不正确．由于[*]=f'(x0)＞0，由保号性知存在[*]，当[*]且x＜x0时f(x)＜f(x0)，(D)不成立．
本题的核心是告诉读者，一点处连续，附近并不一定连续，一点处f'(x0)＞0，函数并不一定单调增，一点处是不能说什么单调的．