解答题
8.已知以2，π为周期的周期函数f(x)在(－∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)= (sinx－1)2f(x)，证明
【正确答案】显然F(0)=
=0，于是由罗尔定理知，
，使得F'(x1)=0．又
F'(x)=2(sinx－1)f(x)+(sinx－1)2f'(x)，
对F'(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在x0*∈
，使得F"(x0*)=0．
注意到F(x)以2π为周期，F'(x)与F"(x)均为以2π为周期的周期函数，于是
=0，于是由罗尔定理知，，使得F'(x1)=0．又F'(x)=2(sinx－1)f(x)+(sinx－1)2f'(x)，
对F'(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在x0*∈
，使得F"(x0*)=0．注意到F(x)以2π为周期，F'(x)与F"(x)均为以2π为周期的周期函数，于是
【答案解析】