问答题
设随机变量(X，Y)服从区域D上的均匀分布，D={(x，y)︱0≤x≤2，0≤y≤2}，令U=(X+Y)
2
，试求EU与DU。
【正确答案】正确答案：求一个随机变量U的数字特征，可以先求出U的概率密度，在计算EU与DU。 方法一：令V=X+Y，先求V的分布函数F(ν)与密度函数f(ν)。
其中D
1
与D
2
如图所示，于是
故
， 又
， 因此
。 方法二：直接应用随机变量函数的期望公式：若(X，Y)～f(x，y)，则有
。 具体到本题f(x，y)=
。 方法三：就本题具体条件可以判断该二维均匀分布随机变量(X，Y)的两个分量X与Y相互独立，且都服从区间[0，2]上均匀分布，因此有
，EU
2
=E(X+Y)
4
=EX
4
+4EX
3
Y+6EX
2
Y
2
+4EXY
3
+EY
4
。 由于X与Y独立，因此X
3
与Y，X
2
与Y
2
，X与Y
3
也分别独立，其乘积的期望等于期望的乘积。 EU
2
=EX
4
+4EX
3
EY+6EX
2
EY
2
+4EXEY
3
+EY
4
=
，DU=EU
2
-(EU)
2
=
其中D
1
与D
2
如图所示，于是
故
， 又
， 因此
。 方法二：直接应用随机变量函数的期望公式：若(X，Y)～f(x，y)，则有
。 具体到本题f(x，y)=
。 方法三：就本题具体条件可以判断该二维均匀分布随机变量(X，Y)的两个分量X与Y相互独立，且都服从区间[0，2]上均匀分布，因此有
，EU
2
=E(X+Y)
4
=EX
4
+4EX
3
Y+6EX
2
Y
2
+4EXY
3
+EY
4
。 由于X与Y独立，因此X
3
与Y，X
2
与Y
2
，X与Y
3
也分别独立，其乘积的期望等于期望的乘积。 EU
2
=EX
4
+4EX
3
EY+6EX
2
EY
2
+4EXEY
3
+EY
4
=
，DU=EU
2
-(EU)
2
=
【答案解析】