【正确答案】[解] (Ⅰ)二次型矩阵[*]
[*]
=(λ+a-1)(λ-a-2)(λ-a+1)
得到矩阵A的特征值为：1-a，a+2，a-1
因为特征值有重根，故[*]或a=1.又a＜0，所以[*].
(Ⅱ)对于[*]．矩阵A的特征值为[*]
[*]
得基础解系α₁=(2，1，0)^T,α₂=(-1,0,1)^T.
[*]
[*]
得基础解系α₂(1,-2,1)^T
对α₁，α₂正交化，令β₁=α₁=(2，1，0)^T
[*]
再分别把β₁，β₂，α₃单位化，得
[*]
那么，令x=py.其中[*]
则有[*]
(Ⅲ)因为矩阵A的特征值为[*]
所以A+kE的特征值为[*]．
因此a+kE正定的充分必要条件是[*]．