解答题
4.(99年)假设二维随机变量(X，Y)在矩形G＝{(χ，y)｜0≤χ≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布，记
【正确答案】G的面积为SG＝2．如图4．7分得G＝D1∪D2∪D3
其中，D1的面积：
；
D3的面积：
×2×1＝1；
D2的面积：
由题意，(X，Y)的概率密度为：
而(U，V)可能取的值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)．
于是(1)P(U＝0，V＝0)＝P(X≤Y，X≤2Y)＝
f(χ，y)dχdy
＝
P(U＝0，V＝1)＝P(X≤Y，X＞2y)＝
f(χ，y)dχdy＝0
P(U＝1，V＝0)＝P(X＞Y，X≤2Y)＝
P(U＝1，V＝1)＝P(X＞Y，X＞2y)＝
于是写出(U，Y)的分布列如下：
∴DU＝E(U2)－(EU)2＝
DV＝E(V2)－(EV)2＝
E(U.V)＝0×0×
＋0×1×0＋1×0×
＋1×1×
得(U，V)的相关系数为
其中，D1的面积：
；D3的面积：
×2×1＝1；D2的面积：
由题意，(X，Y)的概率密度为：
而(U，V)可能取的值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)．
于是(1)P(U＝0，V＝0)＝P(X≤Y，X≤2Y)＝
f(χ，y)dχdy＝
P(U＝0，V＝1)＝P(X≤Y，X＞2y)＝
f(χ，y)dχdy＝0P(U＝1，V＝0)＝P(X＞Y，X≤2Y)＝
P(U＝1，V＝1)＝P(X＞Y，X＞2y)＝
于是写出(U，Y)的分布列如下：
∴DU＝E(U2)－(EU)2＝
DV＝E(V2)－(EV)2＝
E(U.V)＝0×0×
＋0×1×0＋1×0×＋1×1×得(U，V)的相关系数为
【答案解析】