解答题
设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=
问答题
9.记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A－1．
【正确答案】因为A为对称矩阵，所以Aij=Aji(i，j=1，2，…n)．因此f(X)的矩阵形式为
因秩(A)=n，故A可逆，且
A－1=1／|A|A*
从而
(A－1)T=(AT)－1=A－1
故A－1也是实对称矩阵．因此．二次型f(X)的矩阵为
因秩(A)=n，故A可逆，且
A－1=1／|A|A*
从而
(A－1)T=(AT)－1=A－1
故A－1也是实对称矩阵．因此．二次型f(X)的矩阵为
【答案解析】
问答题
10.二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．
【正确答案】1 因为
(A－1)TAA－1=(AT)－1E=A－1
所以A与A－1合同，于是g(X)=XTAX与f(X)有相同的规范形．
2 对二次型g(X)=XTAX作可逆线性变换X=A－1Y，其中y=(y1，y2，…，yn)T，则g(X)=XTAX=(A－1Y)TA(A－1Y)=YT(A－1)TAA－1Y=YTA－1y，由此得知A与A－1合同，于是f(X)与g(X)必有相同的规范形．
解3设A的全部特征值为λ1，λ2，…，λn，则A－1的全部特征值为1／λ1，1／λ2，…，1／λn．
可见A与A－1的特征值中为正及为负的个数分别相同，因而二次型g(X)=XTAX与二次型f(X)=XTA－1X的标准形中系数为正和系数为负的项数分别相同，从而知g(X)与f(X)有相同的规范形．
(A－1)TAA－1=(AT)－1E=A－1
所以A与A－1合同，于是g(X)=XTAX与f(X)有相同的规范形．
2 对二次型g(X)=XTAX作可逆线性变换X=A－1Y，其中y=(y1，y2，…，yn)T，则g(X)=XTAX=(A－1Y)TA(A－1Y)=YT(A－1)TAA－1Y=YTA－1y，由此得知A与A－1合同，于是f(X)与g(X)必有相同的规范形．
解3设A的全部特征值为λ1，λ2，…，λn，则A－1的全部特征值为1／λ1，1／λ2，…，1／λn．
可见A与A－1的特征值中为正及为负的个数分别相同，因而二次型g(X)=XTAX与二次型f(X)=XTA－1X的标准形中系数为正和系数为负的项数分别相同，从而知g(X)与f(X)有相同的规范形．
【答案解析】