问答题
设f(x)在[a，b]上具有三阶连续导数，试证：存在ξ∈(a，b)，使得
【正确答案】将f(x)在[*]展成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式，有
[*]
分别令x=a与x=b，得
[*]
其中[*]
即[*]
[*]
两式相减，得
[*]
因为[*]介于f"'(ξ1)与f"'(ξ2)之间，由闭区间上连续函数性质知，存在ξ∈[ξ1，ξ2][*](a，b)，使
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于是[*](其中ξ∈(a,b))．
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分别令x=a与x=b，得
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其中[*]
即[*]
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两式相减，得
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因为[*]介于f"'(ξ1)与f"'(ξ2)之间，由闭区间上连续函数性质知，存在ξ∈[ξ1，ξ2][*](a，b)，使
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于是[*](其中ξ∈(a,b))．
【答案解析】[考点] 用泰勒公式证明函数的高阶导数存在满足某种要求的中值