解答题
11.[2001年] 已知三阶矩阵A与三维向量X，使得向量组X，AX，A2X线性无关，且满足A3X=3AX一2A2X．(1)记P=[X，AX，A2X]，求三阶矩阵B，使A=PBP-1；(2)计算行列式∣A+E∣．
【正确答案】本题是求A的相似矩阵：B=P-1AP，但P=[X，AX，A2X]中的向量不是A的特征向量，故它不是通常的相似对角化问题．可采用相似对角化思想，即将A=PBP-1改写为AP=PB，由此求出B．至于行列式∣A+E∣可利用相似矩阵的行列式相等求得．
(1)解一 设B=
，由AP=PB得到
[AX，A2X，A3X]=[X，AX，A2X]
即
由于X，AX，A2X线性无关，由式①可得a1=0,b1=l，c1=0；由式②可得a2=0,b2=0，c2=l；
由式③可得a3=0,b3=3，c3=一2，于是B=
解二 B=P-1AP=[X，AX，A2X]-1A[X，AX，A2X]=[X，AX，A2X]-1[AX，A2X，A3X]
=[X，AX，A2X]-1[AX，A2X，3AX一2A2X]
=[X，AX，A2X]-1[X，AX，A2X]
(2)由(1)知，A与B相似，则由命题2．5．3．4知A+E与B+E也相似，且
∣A+E∣=∣B+E∣=
(1)解一 设B=
，由AP=PB得到[AX，A2X，A3X]=[X，AX，A2X]
即
由于X，AX，A2X线性无关，由式①可得a1=0,b1=l，c1=0；由式②可得a2=0,b2=0，c2=l；
由式③可得a3=0,b3=3，c3=一2，于是B=
解二 B=P-1AP=[X，AX，A2X]-1A[X，AX，A2X]=[X，AX，A2X]-1[AX，A2X，A3X]
=[X，AX，A2X]-1[AX，A2X，3AX一2A2X]
=[X，AX，A2X]-1[X，AX，A2X]
(2)由(1)知，A与B相似，则由命题2．5．3．4知A+E与B+E也相似，且
∣A+E∣=∣B+E∣=
【答案解析】