解答题
14.已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵
【正确答案】由于AB=0，故r(A)+r(B)≤3，又由a，b，c不全为零，可知r(A)≥1．
当k≠9时，r(B)=2，于是r(A)=1；
当k=9时，r(B)=1，于是r(A)=1或r(A)=2．
对于k≠9，由AB=O可得
由于η1=(1，2，3)T，η2=(3，6，k)T线性无关，故η1，η2为Ax=0的一个基础解系，于是Ax=0的通解为
x=c1η1+c2η2，其中c1，c2为任意常数．
对于k=9，分别就r(A)=2和r(A)=1进行讨论．
如果r(A)=2，则Ax=0的基础解系由一个向量构成．又因为
当k≠9时，r(B)=2，于是r(A)=1；
当k=9时，r(B)=1，于是r(A)=1或r(A)=2．
对于k≠9，由AB=O可得
由于η1=(1，2，3)T，η2=(3，6，k)T线性无关，故η1，η2为Ax=0的一个基础解系，于是Ax=0的通解为
x=c1η1+c2η2，其中c1，c2为任意常数．
对于k=9，分别就r(A)=2和r(A)=1进行讨论．
如果r(A)=2，则Ax=0的基础解系由一个向量构成．又因为
【答案解析】本题考查抽象齐次线性方程组的求解问题．主要是将矩阵方程转化成线性方程组．并注意运用AB=O，则r(A)+r(B)≤n．未知数的个数(n)-系数矩阵的秩r(A)=基础解系解向量的个数．齐次线性方程组通解的结构，若Ax=0的系数矩阵A的秩r(A)=r，则通解x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r．