问答题
设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得
【正确答案】
【答案解析】[证明] 令
．
因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ"(ξ)=0．
而φ"(x)=
f(t)dt+(x-1)f(x)，故
f(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0．
[解析] 由
f(t)dt+(x-1)f(x)=0，得
f(t)dt+xf(x)-f(x)=0，从而
，辅助函数为
．
因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ"(ξ)=0．
而φ"(x)=
f(t)dt+(x-1)f(x)，故
f(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0．
[解析] 由
f(t)dt+(x-1)f(x)=0，得
f(t)dt+xf(x)-f(x)=0，从而
，辅助函数为