解答题
[2015年]设矩阵
相似于矩阵
相似于矩阵
问答题
9.求a，b的值；
【正确答案】因A与B相似，故tr(A)=tr(B)，即
0+3+a=1+b+1，亦即3+a=b+2． ①
0+3+a=1+b+1，亦即3+a=b+2． ①
【答案解析】
问答题
10.求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．
【正确答案】由｜λE-B｜=
=(λ一1)2(λ一5)=0，
得到B的特征值为λ1=λ2=1，λ3=5．因A与B相似，故A的特征值也为λ1=λ2=1，λ3=5．下求A的属于特征值的特征向量．
将λ1=λ1=1代入(λE-A)X=0，即(E-A)X=0．
由E-A=
及基础解系的简便求法，即得A的属于λ1=λ2=1的线性无关的特征向量：
α1=[2，1，0]T， α2=[一3，1，0]T．
解(λ3E-A)X=0，即解(5E-4)X=0．
由5E—A=
及基础解系的简便求法，即得A的属于λ3=5的特征向量α3=[一1，一1，1]T．
易验证α1，α2，α3线性无关，因而A相似于对角矩阵．
令P=[α1，α2，α3]，则易验证有
P-1AP=
=(λ一1)2(λ一5)=0，得到B的特征值为λ1=λ2=1，λ3=5．因A与B相似，故A的特征值也为λ1=λ2=1，λ3=5．下求A的属于特征值的特征向量．
将λ1=λ1=1代入(λE-A)X=0，即(E-A)X=0．
由E-A=
及基础解系的简便求法，即得A的属于λ1=λ2=1的线性无关的特征向量：α1=[2，1，0]T， α2=[一3，1，0]T．
解(λ3E-A)X=0，即解(5E-4)X=0．
由5E—A=
及基础解系的简便求法，即得A的属于λ3=5的特征向量α3=[一1，一1，1]T．易验证α1，α2，α3线性无关，因而A相似于对角矩阵．
令P=[α1，α2，α3]，则易验证有
P-1AP=
【答案解析】