设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程
=0变换为y=y(x)满足的微分方程； (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y'(0)=
=0变换为y=y(x)满足的微分方程； (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y'(0)=
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)由反函数求导法则，
将以上两式代入所给微分方程得y"一y=sinx。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结果，则对应齐次方程的特征方程为λ
2
一1=0，特征根为λ
1，2
=±1。 由于i不是特征方程的根，故设非齐次待定特解为y
*
=Acosx+Bsinx，并将y
*
，(y
*
)'及(y
*
)" 代入y"一y=sinx，得A=0，B=一
。 则非齐次方程通解为y=C
1
e
x
+C
2
e
-x
一
sinx。 又由y(0)=0，y'(0)=
，可得C
1
=1，C
2
=一1。 则所求特解为y=e
x
一e
-x
一
将以上两式代入所给微分方程得y"一y=sinx。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结果，则对应齐次方程的特征方程为λ
2
一1=0，特征根为λ
1，2
=±1。 由于i不是特征方程的根，故设非齐次待定特解为y
*
=Acosx+Bsinx，并将y
*
，(y
*
)'及(y
*
)" 代入y"一y=sinx，得A=0，B=一
。 则非齐次方程通解为y=C
1
e
x
+C
2
e
-x
一
sinx。 又由y(0)=0，y'(0)=
，可得C
1
=1，C
2
=一1。 则所求特解为y=e
x
一e
-x
一
【答案解析】