解答题
25.设
【正确答案】∣λE-A∣=
=(λ+a-1)(λ-a)(λ-a-1)=0,得矩阵A的特征值为λ1=1-a,λ2=a,λ3=1+a.
(1)当1-a≠a,1-a≠1+a,a≠1+a,即a≠0且a≠
时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化。
λ1=1-a时，有[(1-a)E-A]X=0得ξ1=
；λ2=a时，由（aE-A)X=0得ξ2=
（2）当a=0时，λ1=λ3=1，因为r(E-A)=2,所以方程组（E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化。
（3）当
=(λ+a-1)(λ-a)(λ-a-1)=0,得矩阵A的特征值为λ1=1-a,λ2=a,λ3=1+a.(1)当1-a≠a,1-a≠1+a,a≠1+a,即a≠0且a≠
时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化。λ1=1-a时，有[(1-a)E-A]X=0得ξ1=
；λ2=a时，由（aE-A)X=0得ξ2=（2）当a=0时，λ1=λ3=1，因为r(E-A)=2,所以方程组（E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化。
（3）当
【答案解析】