问答题
已知A是3阶矩阵，αi(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令
α=α1+α2+α3．
(Ⅰ) 证明：α，Aα，A2α线性无关；
(Ⅱ) 设P=(α，Aα，A2α)，求P-1AP．
α=α1+α2+α3．
(Ⅰ) 证明：α，Aα，A2α线性无关；
(Ⅱ) 设P=(α，Aα，A2α)，求P-1AP．
【正确答案】(Ⅰ) 由Aα1=α1，Aα2=2α2，Aα3=3α3，且α1，α2，α3非零可知，α1，α2，α3是A的不同特征值的特征向量，故α1，α2，α3线性无关．
又 Aα=α1+2α2+3α3，A2α=α1+4α2+9α3，若k1α+k2Aα+k3A2α=0，即
k1(α1+α2+α3)+k2(α1+2α2+3α3)+k3(α1+4α2+9α3)=0，
则 (k1+k2+k3)α1+(k1+2k2+4k3)α2+(k1+3k2+9k3)α3=0．
由α1，α2，α3线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0，所以必有k1=k2=k3=0，即α，Aα，A2α线性无关．
(Ⅱ) 因为A3α=α1+8α2+27α3=6α-11Aα+6A2α，所以
AP=A(α，Aα，A2α)=(Aα，A2α，6α-11Aα+6A2α)
故
又 Aα=α1+2α2+3α3，A2α=α1+4α2+9α3，若k1α+k2Aα+k3A2α=0，即
k1(α1+α2+α3)+k2(α1+2α2+3α3)+k3(α1+4α2+9α3)=0，
则 (k1+k2+k3)α1+(k1+2k2+4k3)α2+(k1+3k2+9k3)α3=0．
由α1，α2，α3线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0，所以必有k1=k2=k3=0，即α，Aα，A2α线性无关．
(Ⅱ) 因为A3α=α1+8α2+27α3=6α-11Aα+6A2α，所以
AP=A(α，Aα，A2α)=(Aα，A2α，6α-11Aα+6A2α)
故
【答案解析】