单选题
设A是一个n×n矩阵，交换A的第i行、第j行，然后再交换其第i列、第j列，所得矩阵为B，考虑命题：①|A|=|B|；②r(A)=r(B)；③A、B的行向量组等价；④A与B为相似矩阵，则以上命题成立的个数为______。
【正确答案】
B
【答案解析】[考点] 矩阵的性质、计算及向量组等价性的判定。
[解析] 由题意知，存在初等矩阵E ij (交换单位矩阵E的第i行、第j行或第i列、第j列后所得矩阵)，使得E ij AE ij =B。于是|B|=|E ij |·|A|·|E ij |=(-1)·|A|·(-1)=|A|；r(A)=r(B)且
，即A～B。可见命题①②④均成立。令
，则B=
[解析] 由题意知，存在初等矩阵E ij (交换单位矩阵E的第i行、第j行或第i列、第j列后所得矩阵)，使得E ij AE ij =B。于是|B|=|E ij |·|A|·|E ij |=(-1)·|A|·(-1)=|A|；r(A)=r(B)且
，即A～B。可见命题①②④均成立。令
，则B=