问答题
设A为5行4列的矩阵，A的秩为2．向量α
1
=(1，1，2，3)
T
，α
2
=(-1，1，4，-1)
T
，α
3
=(5，-1，-8，9)
T
是线性方程组Ax=0的解，求Ax=0的解空间的标准正交基．
【正确答案】
【答案解析】[解] 由于矩阵A为5行4列的矩阵，且r(A)=2，可知齐次方程组Ax=0的基础解系中含有4-2=2个解向量．
本题给出了齐次线性方程组的三个解向量α 1 ，α 2 ，α 3 ，所以这三个解向量肯定是线性相关的．由于两个不成比例的向量是线性无关的，所以α 1 ，α 2 是线性无关的．又因为齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有两个向量，所以α 1 ，α 2 可以作为齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系．
已证明向量α 1 ，α 2 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，现把向量α 1 ，α 2 先利用施密特正交法正交化，然后再将正交化之后所得的两个向量单位化．
正交化的过程如下：
取
再将β 1 ，β 2 单位化，
本题给出了齐次线性方程组的三个解向量α 1 ，α 2 ，α 3 ，所以这三个解向量肯定是线性相关的．由于两个不成比例的向量是线性无关的，所以α 1 ，α 2 是线性无关的．又因为齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有两个向量，所以α 1 ，α 2 可以作为齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系．
已证明向量α 1 ，α 2 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，现把向量α 1 ，α 2 先利用施密特正交法正交化，然后再将正交化之后所得的两个向量单位化．
正交化的过程如下：
取
再将β 1 ，β 2 单位化，