计算题
在一个人(既是消费者又是生产者)的经济ε={X，Y，ω)中，商品1和商品2在消费和生产中分别满足下面的条件：(2014年北京大学国家发展研究院经济学理论)
X={x∈R2｜ x1≥2，x2≥0)
Y={y∈R2｜y2≤2(－y1)2，y1≤0)
效用函数为U(x1，x2)=(x1－2)x2，初始资源禀赋为ω=(4，0)。
X={x∈R2｜ x1≥2，x2≥0)
Y={y∈R2｜y2≤2(－y1)2，y1≤0)
效用函数为U(x1，x2)=(x1－2)x2，初始资源禀赋为ω=(4，0)。
问答题
24.对于价格p=(p1，p2)∈R++2，写出生产者问题并求解最大化利润下的y1和y2。
【正确答案】生产者问题可表示为
=p1y1+p2y2
s．t．y1≤0，y2≤2(－y1)2
构造拉格朗日函数
L=p1y1+p2y2+λ1(－y1)+λ2(2y12－y22)
利润最大化的一阶条件为
=p1y1+p2y2s．t．y1≤0，y2≤2(－y1)2
构造拉格朗日函数
L=p1y1+p2y2+λ1(－y1)+λ2(2y12－y22)
利润最大化的一阶条件为
【答案解析】
问答题
25.假设财富满足ω≥2p1，对于p=(p1，p2)∈R++2，写出消费者问题并求解对x1和x2的需求量。
【正确答案】消费者问题可表示为
=(x1－2)x2
s．t．p1x1+p2x2=ω
构造拉格朗日函数
L=(x1－2)x2+μ(ω－p1x1－p2x2)
利润最大化的一阶条件为
=(x1－2)x2s．t．p1x1+p2x2=ω
构造拉格朗日函数
L=(x1－2)x2+μ(ω－p1x1－p2x2)
利润最大化的一阶条件为
【答案解析】
问答题
26.现在假设财富取决于初始禀赋和利润，请推导出商品1的市场均衡条件。假如此时p1=1，p2为多少?
【正确答案】若财富取决于初始禀赋和利润，则此时有
ω=4p1+p1y1+p2y2
代入(1)中结果可得
将上式代入(2)中结果，解得
商品1达到市场均衡时，商品需求一初始禀赋+商品供给，即x1=ωx+y1，即
当p1=1时，解得p2=
综上，商品1达到市场均衡时可求得x1=
因此，假如此时p1=1，那么p2=
ω=4p1+p1y1+p2y2
代入(1)中结果可得
将上式代入(2)中结果，解得
商品1达到市场均衡时，商品需求一初始禀赋+商品供给，即x1=ωx+y1，即
当p1=1时，解得p2=
综上，商品1达到市场均衡时可求得x1=
因此，假如此时p1=1，那么p2=
【答案解析】
问答题
27.请找出ε的瓦尔拉斯均衡(还是令p1=1)。
【正确答案】把p1=1，p2=
于是有
ωY=0，y2=
此时也正好满足生产条件
y2=
且可以验证
MRS12=
因此，产出是有效率的。
因为MRS12=MRT12，此时商品2的生产和消费也达到了市场均衡。因此，ε的瓦尔拉斯均衡为
于是有
ωY=0，y2=
此时也正好满足生产条件
y2=
且可以验证
MRS12=
因此，产出是有效率的。
因为MRS12=MRT12，此时商品2的生产和消费也达到了市场均衡。因此，ε的瓦尔拉斯均衡为
【答案解析】