问答题
求目标函数f(x，y，z)=xyz在x+y+z=0和x
2
+y
2
+z
2
=1约束条件下的极大值和极小值．
【正确答案】
【答案解析】[解] 作拉格朗日函数
L=xyz+λ(x 2 +y 2 +z 2 -1)+μ(x+y+z)．
并令 L" x =yz+2λx+μ=0，
L"y=zx+2λy+μ=0，
L"z=xy+2λz+μ=0，
L"λ=x 2 +y 2 +z 2 -1=0，
L"μ=x+y+z=0，
由前三式消去μ，得
再消去λ，又得
(x-y)(y-z)(z-x)=0．
于是求得x=y或x=z或y=z．
当x=y时，代入条件函数后，得
由此得出
同样，当x=z或y=z时，仍可得到上述结果．
∴
L=xyz+λ(x 2 +y 2 +z 2 -1)+μ(x+y+z)．
并令 L" x =yz+2λx+μ=0，
L"y=zx+2λy+μ=0，
L"z=xy+2λz+μ=0，
L"λ=x 2 +y 2 +z 2 -1=0，
L"μ=x+y+z=0，
由前三式消去μ，得
再消去λ，又得
(x-y)(y-z)(z-x)=0．
于是求得x=y或x=z或y=z．
当x=y时，代入条件函数后，得
由此得出
同样，当x=z或y=z时，仍可得到上述结果．
∴