【正确答案】解一 将方程组(I)与方程(Ⅱ)联立得到

显然，方程组(Ⅲ)的解既满足方程组(I)，又满足方程(Ⅱ)，反之，方程组(I)与方程(Ⅱ)的公共解必满足方程组(Ⅲ)，因此为求方程组(I)与方程(Ⅱ)的公共解只需求方程(Ⅲ)的解即可．
用初等行变换将其增广矩阵化为行阶梯形矩阵：

(1)当a=1时，
方程组(Ⅲ)一个基础解系只含n－秩(A)=3－2=1个解向量α=[－1，0，1]^T．因而方程组(I)与方程(Ⅱ)的所有公共解为kα(k为任意实数)．
(2)当a=2时，秩(A)=秩=3=n，方程组(Ⅲ)有唯一解，此时

故方程组(Ⅲ)的解为β=[0，1，－1]^T，即方程组(I)与方程(Ⅱ)有唯一公共解为β=[0，1，－1]^T．
解二 先求出方程组(I)的解，将其代入方程(Ⅱ)求出其公共解．方程组(I)的系数行列式为一个三阶范德蒙行列式，其值为

(1)当a≠1且a≠2时，方程组(I)只有零解．此零解不满足方程(Ⅱ)，故a≠1且a≠2时方程组(I)与方程(Ⅱ)没有公共解．
(2)当a=1时，D=0，方程组(I)的系数矩阵A的秩，秩(A)<3=n=未知数个数，有非零解．由

知，其基础解系只含一个解向量α₁=[－1，0，1]^T，所有解向量为k₁α₁，其中k₁为任意常数．将此解代入方程(Ⅱ)，有
x₁+2x₂+x₃=-k₁+2·0+k₁=0=a－1．
因而方程组(I)与方程(Ⅱ)的所有公共解为k₁α₁=[－k₁，0，k₁]^T．
事实上，当a=1时，方程(Ⅱ)是方程组(I)的一个方程，方程组(I)的解都满足方程(Ⅱ)，所以当a=1时方程组(I)与方程(Ⅱ)的所有公共解为
k₁α₁=k₁[－1，0，1]^T，其中k₁为任意常数．
(3)当a=2时，D=0，则方程组(I)必有非零解，由

知，一个基础解系只含一个解向量α₂=[0，－1，1]^T．方程组(I)的所有解为k₂α₂=[0，－k₂，k₂]^T．
将其代入方程(Ⅱ)，有
x₁+2x₂+x₃=0－2k₂+k₂=－k₂=a－1=1．
为此仅取k₂=－1．因而当a=2时，其公共解为[0，1，－1]^T这一个解．