解答题求下列函数的极值：

问答题 y=(x+1)e^-x；

【正确答案】解：在x=0取得极大值1．

【答案解析】

问答题 y=x³-3x+2．

【正确答案】解：在x=-1取得极大值4，在x=1取得极小值0．

【答案解析】

问答题直线x=x₀平分由曲线y=e^x与直线x=0，x=4及y=0所围图形的面积，求x₀．

【正确答案】解：图形见下图．由题意可知即故此题也可由，积分得ex0-1=e4-ex0，由此解出

【答案解析】

问答题将边长为a的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如图所示的阴影部分)，然后将其沿虚线折起，做成一个无盖正三棱柱盒子．问当图中的x取何值时，该盒子的容积最大?并求出最大容积．

【正确答案】解：正三棱柱盒子的高为正三棱柱盒子的底面积为正三棱柱盒子的容积为令V'(x)=0，得驻点(舍去)或．由所给问题的实际意义知为最大值点，所以时容积最大，最大容积为

【答案解析】首先根据所设x由题意写出体积函数V(x)，然后利用一元函数求极值的方法即可得出最大体积(容积)．

问答题设

【正确答案】解：将所给表达式两端关于x求导，得两端关于x再次求导，得 f'(x)=6x-f(x) 即 f'(x)+f(x)=6x．将此方程认作为二阶常系数非齐次线性微分方程，相应的齐次微分方程的特征方程为 r2+1=0．特征根为r1=i，r2=-i．齐次方程的通解为C1cosx+C2sinx．设非齐次方程的一个特解为f0(x)．由于a=0不为特征根，可设f0(x)=Ax，将f0(x)代入上述非齐次微分方程可得A=6．因此f0(x)=6x．非齐次方程的通解为 f(x)=C1cosx+C2sinx+6x 由初始条件f(0)=1，f'(0)=0，可得出 C1=1，C2=6．故f(x)=cosx-6sinx+6x为所求函数．

【答案解析】首先，对所给函数等式两边关于x求二阶导数，就可得到一个二阶常系数非齐次线性微分方程，即f'(x)+f(x)=6x．然后，求出这个微分方程的通解，再代入f(0)=1，f'(0)=0，即可求出f(x)的表达式．

问答题求函数f(x，y)=e^2y(x²+2x+y)的极值．

【正确答案】解：联立方程组解得唯一驻点(-1，)．并在该驻点处， A==2e，B==0，C==2e．由于AC-B2=4e2＞0，且A＞0，因此(-1，)为极小值点，且极小值为f(-1，)=．

【答案解析】

问答题设f(x)=e^2x，求

【正确答案】解：解法一由f(x)=e2x，得f'(x)=2e2x．则f'(lnx)=2x2．因此解法二运用变量替换法求解．令t=lnx，则x=et，dx=etdt．因此

【答案解析】