单选题
下列结论正确的是
(A) 若函数f(x)在[a，b]上可积，则f(x)在[a，b]上必有界；反之，若函数f(x)在[a，b]上有界，则f(x)在[a，b]上必可积．
(B) 若函数f(x)在[a，b]上可积，则f(x)在[a，b]内必定有原函数；反之，若函数f(x)在[a，b]内有原函数，则f(x)在[a，b]上必定可积．
(C) 若函数f(x)在任何有限区问上可积，则对任一点c，有
[*]
(D) 若函数f(x)在[a，b]上可积，则必存在ξ∈[a，b]，使得[*]
【正确答案】
C
【答案解析】[分析] 对于(A)：前半句正确，注意函数f(x)在[a，b]上有界是f(x)在[a，b]上可积的必要条件．后半句不正确，例如狄利克雷函数[*]在[0，1]上有界，但不可积．因此(A)不正确．
对于(B)：前半句不正确，例如函数[*]在[-1，1]上可积，且[*]=1，但点x=0为f(x)的第一类间断点，从而在(-1，1)内f(x)没有原函数．后半句也不正确，例如函数[*]在区间(0，1)内有原函数F(x)=lnx但f(x)在[0，1]上不可积．故(B)不正确．
评注 只有当函数f(x)在[a，b]上连续时，可积与原函数存在是相互等价的，而当f(x)在[a，b]上不连续时，这种相互等价的关系并不存在．
对于(C)：由“定积分对于积分区间具有可加性”可知，(C)正确．
对于(D)：例如函数[*]在[0，2]上可积，且
[*]
但不存在ζ∈[0，2]，使得[*]．故(D)不正确·
评注 函数在闭区间上连续是积分中值定理成立的充分、非必要条件．例如符号函数sgnx在[-1，1]上可积，且[*]，若取ξ=0∈[-1，1]，则有
[*]
但sgnx在[-1，1]上不连续．
综上分析，应选(C)．