问答题
求曲线x
3
-xy+y
3
=1(x≥0，y≥0)上点到坐标原点的最长距离与最短距离．
【正确答案】
【答案解析】[解] 点(x，y)到坐标原点的距离
问题为求目标函数
在约束条件x
3
-xy+y
3
=1(x≥0，y≥0)下的最大值和最小值．为方便求导，我们构造拉格朗日函数
F(x，y，λ)=x 2 +y 2 +λ(x 3 -xy+y 3 -1)．
解方程组
由①，②消去λ得，(y-x)(3xy+x+y)=0，由于x≥0，y≥0，得y=x，代入③得唯一可能的极值点：x=y=1.另外，曲线L与x轴，y轴的交点分别为(1，0)，(0，1)．计算这些点到坐标原点的距离得
故所求最长距离为
问题为求目标函数
在约束条件x
3
-xy+y
3
=1(x≥0，y≥0)下的最大值和最小值．为方便求导，我们构造拉格朗日函数
F(x，y，λ)=x 2 +y 2 +λ(x 3 -xy+y 3 -1)．
解方程组
由①，②消去λ得，(y-x)(3xy+x+y)=0，由于x≥0，y≥0，得y=x，代入③得唯一可能的极值点：x=y=1.另外，曲线L与x轴，y轴的交点分别为(1，0)，(0，1)．计算这些点到坐标原点的距离得
故所求最长距离为