结构推理
一个质量为m的粒子在一个无限扩展的周期势中运动,除了在相隔为、宽度为的区间内为外,其他地方处处为0,这里是一个大的正势,可以把势当作Dirac函数之和:,或把间隔当作有限然后取极限从而得以同样的答案。(1)什么是波函数的适合的边界条件?为什么?设可通过势传播的波的最低能量为(这里的定义);(2)给出一个可解出(即)的超越方程。
【正确答案】(1)方程为
对这个方程从到积分,然后令,可得
(1)
加上波函数的连续性条件
(2)
式(1)和式(2)就是波函数适当的边界条件,可适用于。
(2)在处,方程的两个基本解为
相应的能量为
令
根据Bloch定理,在处
代入式(1)和式(2)
式中;A、B有非零解的充要条件为
经过计算化简,可得
这是确定Bloch波数K的式子,而k的允许值限制在下列范围中
满足这个不等式的最小k值即为。
【答案解析】