解答题
28.设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，tr(A)＝1，又B＝
【正确答案】(1)由AB＝O得A
＝0，A
＝0，即α1＝
，α2＝
为λ＝0的两个线性无关的特征向量，从而λ＝0为至少二重特征值，又由tr(A)＝1得λ3＝1，
即λ1＝λ2＝0，λ3＝1．
令λ3＝1对应的特征向量为α3＝
，
因为AT＝A，所以
解得λ3＝1对应的线性无关的特征向量为α3＝
，
令
所求的正交矩阵为Q＝
且XTAX
y32．
(2)由QTAQ＝
得
＝0，A＝0，即α1＝，α2＝为λ＝0的两个线性无关的特征向量，从而λ＝0为至少二重特征值，又由tr(A)＝1得λ3＝1，即λ1＝λ2＝0，λ3＝1．
令λ3＝1对应的特征向量为α3＝
，因为AT＝A，所以
解得λ3＝1对应的线性无关的特征向量为α3＝
，令
所求的正交矩阵为Q＝
且XTAX
y32．(2)由QTAQ＝
得【答案解析】