解答题
8.(2000年)生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0．977。(Ф(2)=0．977，其中Ф(x)是标准正态分布函数。)
【正确答案】设Xi(i=1，2，…，，2)是装运的第i箱的重量(单位：千克)，n是所求箱数。由题设可以将X1，Xi，…，Xn视为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量Sn=X1+X2+…+Xn是独立同分布随机变量之和。
由题设，有E(Xi)=50，
=5(单位：千克)。
所以 E(Sn)=E(X1+X2+…+Xn)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)=50n，
D(Sn)=D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)=25n，
则根据列维一林德伯格中心极限定理，知Sn近似服从正态分布N(50n，25n)，箱数n根据下述条件确定
P{Sn≤5000}=
(将Sn标准化)
由此得
由题设，有E(Xi)=50，
=5(单位：千克)。所以 E(Sn)=E(X1+X2+…+Xn)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)=50n，
D(Sn)=D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)=25n，
则根据列维一林德伯格中心极限定理，知Sn近似服从正态分布N(50n，25n)，箱数n根据下述条件确定
P{Sn≤5000}=
(将Sn标准化)由此得
【答案解析】