问答题
已知矩阵
问答题
求A
99
．
【正确答案】
【答案解析】根据题意并结合特征值的定义，有
所以A的特征值为λ 1 =-1，λ 2 =-2，λ 3 =0．
当λ 1 =-1时，解(-E-A)x=0．由于
所以A对应于λ 2 =-2的无关特征向量
．
特征向量
．
由P -1 AP=A，易知
，故A=PΛP
-1
，所以
当λ 3 =0时，解(0E-A)x=0，即Ax=0．由于
所以A对应于λ 3 =0的无关特征向量
所以A的特征值为λ 1 =-1，λ 2 =-2，λ 3 =0．
当λ 1 =-1时，解(-E-A)x=0．由于
所以A对应于λ 2 =-2的无关特征向量
．
特征向量
．
由P -1 AP=A，易知
，故A=PΛP
-1
，所以
当λ 3 =0时，解(0E-A)x=0，即Ax=0．由于
所以A对应于λ 3 =0的无关特征向量
问答题
设3阶矩阵B=(α
1
，α
2
，α
3
)满足B
2
=BA．记B
100
=(β
1
，β
2
，β
3
)，将β
1
，β
2
，β
3
分别表示为α
1
，α
2
，α
3
的线性组合．
【正确答案】
【答案解析】由题意可知：B
2
=BA，所以
B 3 =BBA=B 2 A=BAA=BA 2 ，B 4 =B 2 A 2 =BAA 2 =BA 3 ．
由此可得B 100 =BA 99 ，所以有
(β 1 ，β 2 ，β 3 )=(α 1 ，α 2 ，α 3 )A 99
B 3 =BBA=B 2 A=BAA=BA 2 ，B 4 =B 2 A 2 =BAA 2 =BA 3 ．
由此可得B 100 =BA 99 ，所以有
(β 1 ，β 2 ，β 3 )=(α 1 ，α 2 ，α 3 )A 99