解答题
20.[2014年] 设函数y=f(x)由方程y3+xy2+x2y+6=0确定，求f(x)的极值．
【正确答案】在所给方程两边分别对x求导数，得到
3y2y'+y2+2xyy'+2xy+x2y'=0，即
令y'=0，得到y=0，y=-2x，显然y=0不满足原方程．将y=-2x代入原方程得到
y3+xy2+x2y+6=一6x3+6=0．
解得x0=1．因而由y=一2x有y(1)=一2，y'(1)=0．
在式①两边再对x求导，得到
6yy'2+3y2y''+4yy'+2xy'2+2xyy''+2y+4xy'+x2y''=0． ②
将x=1，y(1)=一2，y'(1)=0代入式②得
3y2y'+y2+2xyy'+2xy+x2y'=0，即
令y'=0，得到y=0，y=-2x，显然y=0不满足原方程．将y=-2x代入原方程得到
y3+xy2+x2y+6=一6x3+6=0．
解得x0=1．因而由y=一2x有y(1)=一2，y'(1)=0．
在式①两边再对x求导，得到
6yy'2+3y2y''+4yy'+2xy'2+2xyy''+2y+4xy'+x2y''=0． ②
将x=1，y(1)=一2，y'(1)=0代入式②得
【答案解析】