解答题
f(x)在闭区问[0，c]上连续，其导函数f＇(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0。
问答题
14.结合题干简述拉格朗日中值定理的内容并证明：
【正确答案】拉格朗日中值定理；f(x)在闭区间[0，c]上连续，在开区间(0，c)内可导，则存在ξ∈(0，c)，使得f(c)一f(0)=f＇(ξ)(c一0)，或者写成f＇(ξ)=
证明：构造辅助函数φ(x)=f(x)－f(0)一
(x一0)，因为φ(0)=φ(c)=0，φ(x)在[0，c]上连续，在(0，c)内可导，所以根据罗尔定理可知，在(0，c)内至少存在一点ξ，使得φ＇(ξ)=f＇(ξ)一
=0，进而可得f＇(ξ)=
证明：构造辅助函数φ(x)=f(x)－f(0)一
(x一0)，因为φ(0)=φ(c)=0，φ(x)在[0，c]上连续，在(0，c)内可导，所以根据罗尔定理可知，在(0，c)内至少存在一点ξ，使得φ＇(ξ)=f＇(ξ)一=0，进而可得f＇(ξ)=【答案解析】
问答题
15.运用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c。
【正确答案】当a=0时，f(a)=0，进而有f(a+b)=f(b)=f(a)+f(b)。
当a＞0时，在[0，a]和[b，a+b]上分别运用拉格朗日中值定理，有
f＇(ξ1)=
，ξ1∈(0，a)，
f＇(ξ2)=
，ξ2∈(b，a+b)，
显然，0＜ξ1＜a≤b＜ξ2＜a+b≤c，因为f＇(x)在(0，c)内单调递减，所以f＇(ξ2)≤f＇(ξ1)，从而有
当a＞0时，在[0，a]和[b，a+b]上分别运用拉格朗日中值定理，有
f＇(ξ1)=
，ξ1∈(0，a)，f＇(ξ2)=
，ξ2∈(b，a+b)，显然，0＜ξ1＜a≤b＜ξ2＜a+b≤c，因为f＇(x)在(0，c)内单调递减，所以f＇(ξ2)≤f＇(ξ1)，从而有
【答案解析】