问答题
设f(x)在(-∞，+∞)内可微，证明：在f(x)的任何两个零点之间必有f(x)+f"(x)的一个零点．
【正确答案】
【答案解析】[证]作辅助函数F(x)=f(x)e
x
，
显然f(x)在[α，β]上连续，且在(α，β)内可微，其中α，β为f(x)的任意两个零点，即f(α)=f(β)=0且α＜β，
F(α)=f(α)e α =0=f(β)e β =F(β)，
可知F(x)在[α，β]上满足罗尔定理条件，于是存在一个ξ∈(α，β)使
F"(ξ)=0，
即e ξ f(ξ)+e ξ f"(ξ)=0，亦即f(ξ)+f"(ξ)=0．命题得证． [解析] 设α，β(α＜β)为f(x)的任意两个零点，要证的是存在一个ξ∈(α，β)，使得
f(ξ)+f"(ξ)=0．
因为f(x)可微，故可用罗尔定理证明，其辅助函数可用积分法构造．
显然f(x)在[α，β]上连续，且在(α，β)内可微，其中α，β为f(x)的任意两个零点，即f(α)=f(β)=0且α＜β，
F(α)=f(α)e α =0=f(β)e β =F(β)，
可知F(x)在[α，β]上满足罗尔定理条件，于是存在一个ξ∈(α，β)使
F"(ξ)=0，
即e ξ f(ξ)+e ξ f"(ξ)=0，亦即f(ξ)+f"(ξ)=0．命题得证． [解析] 设α，β(α＜β)为f(x)的任意两个零点，要证的是存在一个ξ∈(α，β)，使得
f(ξ)+f"(ξ)=0．
因为f(x)可微，故可用罗尔定理证明，其辅助函数可用积分法构造．