问答题
问答题
设A为r阶方阵，B为r×n矩阵，r(B)=r，且AB=0，证明：A=0．
【正确答案】
【答案解析】因为r(B)=r，所以矩阵B有r个线性无关的列向量，故经过初等列变换将B化成
的形式，其中B
1
是r×r矩阵，B
2
=0，r(B
1
)=r，即存在可逆阵Q，使得BQ=B
1
B
2
．
由于AB=0，所以ABQ=A(
)=0，因而AB
1
=0，两边同乘
的形式，其中B
1
是r×r矩阵，B
2
=0，r(B
1
)=r，即存在可逆阵Q，使得BQ=B
1
B
2
．
由于AB=0，所以ABQ=A(
)=0，因而AB
1
=0，两边同乘
问答题
设A为n阶正交阵，且A的特征值都大于零，证明：A*=A
T
．
【正确答案】
【答案解析】由A的特征值都大于零知|A|＞0．又A为正交阵，故|A|=1，从而A*=|A|A
-1
=A
-1
=A
T
．