解答题
21.设曲线y=a+x-x3，其中a＜0．当x＞0时，该曲线在x轴下方与y轴、x轴所围成图形的面积和在x轴上方与x轴所围成图形的面积相等，求a．
【正确答案】设曲线y=a+x—x3与x轴正半轴的交点横坐标为α，β(α＜β)，由条件得
一∫0α(a+x—x3)dx=∫αβ(a+x—x3)dx，移项得
∫0α(a+x—x3)dx+∫αβ(a+x—x3)dx=∫0β(a+x—x3)dx=0
β(4a+2β—β2)=0，
因为β＞0，所以4a+2β—β2=0．
又因为(β，0)为曲线y=a+x—x3与x轴的交点，所以有a+β一β3=0，
从而有β=一3a
a一3a+27a3=0
一∫0α(a+x—x3)dx=∫αβ(a+x—x3)dx，移项得
∫0α(a+x—x3)dx+∫αβ(a+x—x3)dx=∫0β(a+x—x3)dx=0
β(4a+2β—β2)=0，因为β＞0，所以4a+2β—β2=0．
又因为(β，0)为曲线y=a+x—x3与x轴的交点，所以有a+β一β3=0，
从而有β=一3a
a一3a+27a3=0【答案解析】