问答题
设f(x)在[a，b]上单调增加，且f"(x)＞0，证明：
【正确答案】
【答案解析】[证]先证左端不等式
成立．
由题设，对
当x＞a时，f(x)＞f(a)，故
再证右端不等式成立．
对
f(t)在点x处的泰勒展开式为
其中，ξ在t与x之间．
因为f"(ξ)＞0，
所以f(t)＞f(x)+f"(x)(t-x)． ③
将t=b，t=a分别代入③式并相加，得
f(b)+f(a)＞2f(x)+(a+b)f"(x)-2xf"(x)． ④
对④的两边在[a，b]上积分，则
故
成立．
由题设，对
当x＞a时，f(x)＞f(a)，故
再证右端不等式成立．
对
f(t)在点x处的泰勒展开式为
其中，ξ在t与x之间．
因为f"(ξ)＞0，
所以f(t)＞f(x)+f"(x)(t-x)． ③
将t=b，t=a分别代入③式并相加，得
f(b)+f(a)＞2f(x)+(a+b)f"(x)-2xf"(x)． ④
对④的两边在[a，b]上积分，则
故