解答题
20.设线性方程组
【正确答案】将[1，一1，1，一1]T代入原方程组得λ=μ，从而将原方程组化为只含一个参数λ的方程组．讨论λ的取值情况求出其全部解，再在上述各种情况下的全部解中令x2=x3可求出任意常数受到约束的该方程组的通解．
将[1，一1，1，一1]T代入原方程组得到λ=μ，对增广矩阵作初等行变换得到
(1)当λ=
时，
由基础解系和特解的简便求法，得到对应齐次方程的基础解系为
α1=[1，一3，1，0]T，
=[－1／2，一l，0，1]T，α2=[－1，一2，0，2]T，
特解η1=[－1／2，1，0，0]T，其全部解为
X=k1α1+k2α2+η=k1[1，一3，1，0]T+k2[－l，一2，0，2]T+[－1／2，1，0，0]T
=[k1一k2一1／2，1—3k1一2k2，k1，2k2]T， k1，k2为任意常数．
(2)当λ≠
时，
因秩(A)=秩(
)=3＜4，故方程组有无穷多解．由基础解系和特解的简便求法得到
将[1，一1，1，一1]T代入原方程组得到λ=μ，对增广矩阵作初等行变换得到
(1)当λ=
时，由基础解系和特解的简便求法，得到对应齐次方程的基础解系为α1=[1，一3，1，0]T，
=[－1／2，一l，0，1]T，α2=[－1，一2，0，2]T，特解η1=[－1／2，1，0，0]T，其全部解为
X=k1α1+k2α2+η=k1[1，一3，1，0]T+k2[－l，一2，0，2]T+[－1／2，1，0，0]T
=[k1一k2一1／2，1—3k1一2k2，k1，2k2]T， k1，k2为任意常数．
(2)当λ≠
时，因秩(A)=秩(
)=3＜4，故方程组有无穷多解．由基础解系和特解的简便求法得到【答案解析】