解答题
21.
设a是n维单位列向量，A＝E－aa
T
．证明：r(A)＜n．
【正确答案】
A
2
＝(E－aa
T
)(E－aa
T
)＝E－2aa
T
＋aa
T
?aa
T
，因为a为单位列向量，所以a
T
a＝1，于是A
2
＝A．由A(E－A)＝O得r(A)＋r(E－A)≤n，又由r(A)＋r(E－A)≥r[A＋(E－A)]＝r(E)＝n，得r(A)＋r(E－A)＝n，因为E－A＝aa
T
≠O，所以r(E－A)＝r(aa
T
)＝r(a)＝1，故r(A)＝n－1＜n．
【答案解析】
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