问答题
下图表示一离散信号e(kT)经D/A转换为一阶梯形模拟信号激励的RC电路图。已知电路参数为C=1F，R
1
=R
2
=1Ω，试写出描述y(kT)与e(kT)间关系的差分方程，这里y(kT)为y(t)在离散时间kT处的值组成的序列。
【正确答案】
【答案解析】解 RC电路的转移函数为
式中，
为电路的时间常数。代入C=1F，R
1
=R
2
=1Ω，可得
从而h(t)=e -2t ε(t)
且RC电路的零输入响应
y zi (t)=Ae -2t (A为系数)
考虑时间段kT≤t≤(k+1)T，D/A转换器的输出为e(t)，且
e(t)=e(kT)
当t=kT时，有y zi (kT)=Ae -2kT
从而得A=y zi (kT)e 2Tk
那么在时间段kT≤t≤(k+1)T，有
y zi (t)=y zi (kT)e -2(t-kT)
另一方面，在kT≤t≤(k+1)T内，e(t)产生的零状态响应
由此可见，y zs (kT)=0，即y(kT)=y zi (kT)
这样零输入响应
y zi (t)=y(kT)e -2(t-kT) ，kT≤t≤(k+1)T
于是在kT≤t≤(k+1)T内，在e(t)=e(kT)的激励下，系统的全响应
取t=(k+1)T，可得差分方程为
整理得
式中，
为电路的时间常数。代入C=1F，R
1
=R
2
=1Ω，可得
从而h(t)=e -2t ε(t)
且RC电路的零输入响应
y zi (t)=Ae -2t (A为系数)
考虑时间段kT≤t≤(k+1)T，D/A转换器的输出为e(t)，且
e(t)=e(kT)
当t=kT时，有y zi (kT)=Ae -2kT
从而得A=y zi (kT)e 2Tk
那么在时间段kT≤t≤(k+1)T，有
y zi (t)=y zi (kT)e -2(t-kT)
另一方面，在kT≤t≤(k+1)T内，e(t)产生的零状态响应
由此可见，y zs (kT)=0，即y(kT)=y zi (kT)
这样零输入响应
y zi (t)=y(kT)e -2(t-kT) ，kT≤t≤(k+1)T
于是在kT≤t≤(k+1)T内，在e(t)=e(kT)的激励下，系统的全响应
取t=(k+1)T，可得差分方程为
整理得