问答题
设f(x)在[0,1]上连续．在(0，1)内可导，且
问答题
存在c∈(0，1)，使得f(c)=0；
【正确答案】
【答案解析】[证明] 由
问答题
存在ξ∈(0，1)，使得f""(ξ)=f(ξ)；
【正确答案】
【答案解析】[证明] 令h(x)=e
x
f(x)，因为f(0)=f(c)=f(1)=0，所以h(0)=h(c)=h(1)=0，
由罗尔定理，存在ξ 1 ∈(O，c)，ξ 2 ∈(c，1)，使得h"(ξ 1 )=h"(ξ 2 )=0，而h"(x)=e x [f(x)+f"(x)]
且e x ≠0，所以f(ξ 1 )+f"(ξ 1 )=0，f(ξ 2 )+f"(ξ 2 )=0．
令φ(x)=e -x [f(x)+f"(x)]，因为φ(ξ 1 )=φ(ξ 2 )=0，所以存在ξ∈(ξ 1 ，ξ 2 )
由罗尔定理，存在ξ 1 ∈(O，c)，ξ 2 ∈(c，1)，使得h"(ξ 1 )=h"(ξ 2 )=0，而h"(x)=e x [f(x)+f"(x)]
且e x ≠0，所以f(ξ 1 )+f"(ξ 1 )=0，f(ξ 2 )+f"(ξ 2 )=0．
令φ(x)=e -x [f(x)+f"(x)]，因为φ(ξ 1 )=φ(ξ 2 )=0，所以存在ξ∈(ξ 1 ，ξ 2 )
问答题
存在η∈(0，1)，使得f""(η)-3f"(η)+2f(η)=0．
【正确答案】
【答案解析】[证明] 令h(x)=e
-x
f(x)，因为f(0)=f(c)=f(1)=0，所以h(0)=h(c)=h(1)=0．
由罗尔定理，存在η 1 ∈(0，c)，η 2 ∈(c，1)，使得h"(η 1 )-h"(η 2 )=0，而
h‘(x)=e -x [f"(x)-f(x)]且e -x ≠0，
所以f"(η 1 )-f(η 1 )=0，f"(η 2 )-f(η 2 )=0．
令φ(x)=e -2x [f"(x)-f(x)]，因为φ(η 1 )=φ(η 2 )=0，所以存在η∈(η 1 ，η 2 )
由罗尔定理，存在η 1 ∈(0，c)，η 2 ∈(c，1)，使得h"(η 1 )-h"(η 2 )=0，而
h‘(x)=e -x [f"(x)-f(x)]且e -x ≠0，
所以f"(η 1 )-f(η 1 )=0，f"(η 2 )-f(η 2 )=0．
令φ(x)=e -2x [f"(x)-f(x)]，因为φ(η 1 )=φ(η 2 )=0，所以存在η∈(η 1 ，η 2 )