【正确答案】利用全微分和初始条件先求出f(x，y)的表达式，而f(x，y)在椭圆域上的最大值、最小值可能在区域内或其边界上达到，而后者又可转化为求条件极值．
(1)求f(x，y)的表达式．由dz=2x dx一2y dy可知z=f(x，y)=x²一y²+C．
再由f(1，1)=2，得C=2，故z=f(x，y)=x²一y²+2．
(2)求f(x，y)在D内的驻点及相应函数值．令=2x=0．=－2y=0，求得D内的唯一驻点(0，0)，且f(0，0)=2．
(3)求f(x，y)在D的边界y²=4(1一x²)上的最大值、最小值．将y²=4(1一x²)代入
z=x²一y²+2，得到
z=x²一(4—4x²)+2， 即 z=5x²一2 (一1≤x≤1)．
显然，z(x)在[一1，1]上的最大值为z∣_x=±1=3，最小值为z∣_x=0=一2．
综上所述，f(x，y)的最大值为max{2，3，一2}=3，最小值为min{2，3，一2)=一2．
解二 同解法一，求得驻点(0，0)．用拉格朗日乘数法求此函数在椭圆x²+y²／4=1上的极值．
设 L=x²一y²+2+λ(x²+y²／4—1)，
则
由式①、式②、式③解得