【正确答案】(Ⅰ)设λ是A的特征值，由于A²=A，所以λ²=λ，且A有两个不同的特征值，从而A的特征值为0和1．
又因为A²=A，即A(A-E)=O，故R(A)+R(A-E)=n.事实上，因为A(A-E)=O，所以
R(A)+R(A-E)≤n．
另一方面，由于E-A与A-E的秩相同，则有
n=R(E)=R[(E-A)+A]≤R(A)+R(E-A)=R(A)+R(A-E)，
从而
R(A)+R(A-E)=n．
当λ=1时，因为R(A-E)=n-R(A)=n-s，从而齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系含有s个解向量，因此，A属于特征值1有s个线性无关特征向量，记为η₁，η₂，…，η_s．
当λ=0时，因为R(A)=s，从而齐次线性方程组(0.E-A)x=0的基础解系含n-s个解向量．因此，A属于特征值0有行一s个线性无关的特征向量，记为η_s+1，η_s+2，…，η_n．
于是η₁，η₂，…，η_n是A的n个线性无关的特征向量，所以A可对角化，并且对角阵为

(Ⅱ)令P=(η₁，η₂，η₃，…，η_n)，则A=PAP^-1，所以
｜A-2E｜=｜PAP^-1-2E｜=｜A-2E｜=

【答案解析】利用非齐次线性方程组解的结构求解．先求对应导出组的基础解系，再求一个特解．