问答题
设α＝(1，2，3，4)
T
，β＝(3，－2，－1，1)
T
，A＝αβ
T
．
(I)求A的特征值、特征向量；
(Ⅱ)问A能否相似于对角矩阵?说明理由．
【正确答案】正确答案：法一 (I)
故A有特征值λ＝0(四重根)． 当λ＝0时，(λE－A)x＝0即Ax＝0，其同解方程为3x
1
－2x
2
－x
3
﹢x
4
＝0． 解得对应的线性无关的特征向量为 ξ
1
＝(2，3，0，0)
T
，ξ
2
＝(1，0，3，0)
T
，ξ
3
＝(1，0，0，－3)
T
． A的对应于λ＝0的全体特征向量为k
1
ξ
1
﹢k
2
ξ
2
﹢k
3
ξ
3
，其中k
1
，k
2
，k
3
为不全为零的任意常数． (Ⅱ)因r(A)＝r(αβ
T
)≤r(α)＝1(α≠0)，A≠O，故r(A)＝1． λ＝0为四重特征值，线性无关的特征向量只有3个，故A不能相似于对角矩阵． 法二 (I)r(A)＝r(αβ
T
)≤r(α)=1．又A≠O，故r(A)＝1，｜A ｜＝0． 故A有特征值λ＝0．对应的特征向量满足(OE－A)x＝O，即Ax＝αβ
T
＝0，其同解方程为 3x
1
－2x
2
－x
3
﹢
4
＝0． 故知λ＝0至少是A的三重特征值，设第4个特征值为λ
4
． 由
故A有特征值λ＝0(四重根)． 当λ＝0时，(λE－A)x＝0即Ax＝0，其同解方程为3x
1
－2x
2
－x
3
﹢x
4
＝0． 解得对应的线性无关的特征向量为 ξ
1
＝(2，3，0，0)
T
，ξ
2
＝(1，0，3，0)
T
，ξ
3
＝(1，0，0，－3)
T
． A的对应于λ＝0的全体特征向量为k
1
ξ
1
﹢k
2
ξ
2
﹢k
3
ξ
3
，其中k
1
，k
2
，k
3
为不全为零的任意常数． (Ⅱ)因r(A)＝r(αβ
T
)≤r(α)＝1(α≠0)，A≠O，故r(A)＝1． λ＝0为四重特征值，线性无关的特征向量只有3个，故A不能相似于对角矩阵． 法二 (I)r(A)＝r(αβ
T
)≤r(α)=1．又A≠O，故r(A)＝1，｜A ｜＝0． 故A有特征值λ＝0．对应的特征向量满足(OE－A)x＝O，即Ax＝αβ
T
＝0，其同解方程为 3x
1
－2x
2
－x
3
﹢
4
＝0． 故知λ＝0至少是A的三重特征值，设第4个特征值为λ
4
． 由
【答案解析】