结构推理 (技术革新的推广计划) 设某地区有1000个农户．假设对于一位尚未采纳某项技术革新的农户来说，只有当一位已经采纳了此项技术革新的农户对他谈论了这项革新之后，他才会采纳．若在第”天内采纳技术革新的农户总数记为x_n，因此，在单位时间内，x_n的变化Δx_n与已经采纳了这项革新的农户总数x，以及尚未采纳这项革新的农户数1000-x_n成正比．
(1)试建立描述采纳了这项革新的农户总数变化的差分方程；
(2)如果比例系数是0.001，最初只有一个农户采纳了革新计划，到有一半农户采纳计划需多少天?所有农户都采纳计划需多少天?

【正确答案】(1)根据题意，Δx_n=rx_n(1000-x_n)，其中r为比例常数．这是一个非线性差分方程．
(2)r=0.001，差分方程可以写成x_n+1-x_n=0.001x_n(1000-x_n)，即
x_n+1=2x_n-0.001x_n²，
且x₀=1，逐项递推计算，得
x₀=1，x₁=2，x₂=4，x₃=8，x₄=18，x₅=32，x₆=63，x₇=122，
x₈=229，x₉=406，x₁₀=647，x₁₁=875，x₁₂=984，x₁₃=999.7
故有一半农户采纳约需10天，所有农户采纳约需13天．

【答案解析】