问答题
设总体X的分布如下：
其中0＜θ＜1，X
1
，X
2
，…，X
3
为来自总体的简单随机样本．
| X | 1 | 2 | 3 |
| p | θ 2 | 2θ(1-θ) | (1-θ) 2 |
问答题
求参数θ的最大似然估计量
【正确答案】
【答案解析】求参数θ的最大似然估计
，总体分布可表示为
P(X=k)=C(k)(1-θ) k-1 θ 3-k ， k=1，2，3．
其中C(1)=1，C(2)=2，C(3)=1．
似然函数
，
即
，其中
．
解方程
，得θ的最大似然估计
，总体分布可表示为
P(X=k)=C(k)(1-θ) k-1 θ 3-k ， k=1，2，3．
其中C(1)=1，C(2)=2，C(3)=1．
似然函数
，
即
，其中
．
解方程
，得θ的最大似然估计
问答题
判断
【正确答案】
【答案解析】判断
的无偏性和一致性．
的无偏性：
又
E(X)=1·θ 2 +2·2θ(1-θ)+3·(1-θ) 2 =3-2θ，
则
是θ的无偏估计．
的一致性：因为
，则
D(X)=E(X 2 )-(EX) 2
=1·θ 2 +4·2θ(1-θ)+9·(1-θ) 2 -(3-2θ) 2
=3-2θ
=1·θ 2 +4·2θ(1-θ)+9·(1-θ) 2 -(3-2θ) 2
=2θ(1-θ)，
由切比雪夫不等式，
对有
则
，即
的无偏性和一致性．
的无偏性：
又
E(X)=1·θ 2 +2·2θ(1-θ)+3·(1-θ) 2 =3-2θ，
则
是θ的无偏估计．
的一致性：因为
，则
D(X)=E(X 2 )-(EX) 2
=1·θ 2 +4·2θ(1-θ)+9·(1-θ) 2 -(3-2θ) 2
=3-2θ
=1·θ 2 +4·2θ(1-θ)+9·(1-θ) 2 -(3-2θ) 2
=2θ(1-θ)，
由切比雪夫不等式，
对有
则
，即