问答题
设f(x)二阶连续可导，且曲线积分∫[3f"(x)-2f(x)+xe
2x
]ydx+f"(x)dy与路径无关，求f(x)．
【正确答案】
【答案解析】解 因为曲线积分与路径无关，所以有
f"(x)=3f"(x)-2f(x)+xe 2x ，即f"(x)-3f"(x)+2f(x)=xe 2x ，
由特征方程λ 2 -3λ+2=0得λ 1 =1，λ 2 =2，
则方程f"(x)-3f"(x)+2f(x)=0的通解为f(x)=C 1 e x +C 2 e 2x ，
令特解f 0 (x)=x(ax+b)e 2x ，代入原微分方程得
，b=-1，
故所求
f"(x)=3f"(x)-2f(x)+xe 2x ，即f"(x)-3f"(x)+2f(x)=xe 2x ，
由特征方程λ 2 -3λ+2=0得λ 1 =1，λ 2 =2，
则方程f"(x)-3f"(x)+2f(x)=0的通解为f(x)=C 1 e x +C 2 e 2x ，
令特解f 0 (x)=x(ax+b)e 2x ，代入原微分方程得
，b=-1，
故所求