解答题
20.设二维连续型随机变量(X，Y)服从区域D上的均匀分布，其中
D={(x，y)|0≤y≤x≤2一y}．
试求：(I)X+Y的概率密度；
(Ⅱ)X的边缘概率密度；
(Ⅲ)P{Y≤0．2|X=1．5}．
D={(x，y)|0≤y≤x≤2一y}．
试求：(I)X+Y的概率密度；
(Ⅱ)X的边缘概率密度；
(Ⅲ)P{Y≤0．2|X=1．5}．
【正确答案】(I)如图，区域D即△AOB的面积SD=1，因此(X，Y)的概率密度为
X+Y的分布函数记为F(z)，则当z＜0时，F(z)=0；当z≥2时，F(z)=1；当0≤z＜2时，
于是X+Y的概率密度f(z)为
或者直接用随机变量和的卷积公式求X+Y的概率密度．由于f(x，z一x)只有在0≤z—x≤x≤2一(z一x)时才不为0，即只有当
≤x≤z≤2时．
(Ⅲ)当X=1．5时fX(1．5)=0．5，条件密度
X+Y的分布函数记为F(z)，则当z＜0时，F(z)=0；当z≥2时，F(z)=1；当0≤z＜2时，
于是X+Y的概率密度f(z)为
或者直接用随机变量和的卷积公式求X+Y的概率密度．由于f(x，z一x)只有在0≤z—x≤x≤2一(z一x)时才不为0，即只有当
≤x≤z≤2时．(Ⅲ)当X=1．5时fX(1．5)=0．5，条件密度
【答案解析】