问答题
设f(x)在[0，2]上有二阶连续导数，且f(0)=0，f"(0)=2，f"(2)=3，又|f"(x)|≤4(x∈[0，2])．试证：f(2)≥1．
【正确答案】
【答案解析】将f(x)在x=0，x=2处的泰勒公式写出有
f(x)=f0)+f"(0)x+
(ξ介于0，x之间)．
f(x)=f(2)+f"(2)(x-2)+
(η介于2，x之间)．
取x=1，有
f(1)=f(0)+f"(0)+
[ξ介于0，1之间，即ξ∈(0，1)]．
f(1)=f(2)-f"(2)+
[η介于1，2之间，即η∈(1，2)]．
将上面两式相减，注意f(0)=0，得
．
有
．
即
．
于是
f(x)=f0)+f"(0)x+
(ξ介于0，x之间)．
f(x)=f(2)+f"(2)(x-2)+
(η介于2，x之间)．
取x=1，有
f(1)=f(0)+f"(0)+
[ξ介于0，1之间，即ξ∈(0，1)]．
f(1)=f(2)-f"(2)+
[η介于1，2之间，即η∈(1，2)]．
将上面两式相减，注意f(0)=0，得
．有
．即
．
于是